L'histoire des mathématiques est riche des travaux des Fermat, Frenicle, Euler, Ramanujan qui ont « joué » à trouver des nombres Taxicabs. Avec l'ordinateur, de nouveaux records viennent d'être obtenus.
Christian BOYER
L
a Première Guerre mondiale vient de finir, l'armistice est signé depuis quelques semaines. Le mathématicien anglais Hardy prend un taxi pour aller dans un hôpital de la banlieue de Londres, rendre visite au génial mathématicien indien Ramanujan.
« Mon taxi était immatriculé 1729 », dit Hardy en arrivant dans la chambre de Ramanujan, « un nombre qui me semble sans intérêt, j'espère que ce n'est pas un mauvais présage pour ma visite d'aujourd'hui ».
« Non », lui répond Ramanujan, « c'est un nombre très intéressant ; c'est le plus petit nombre égal à la somme de deux cubes de deux façons différentes ».
C'est à la suite de cette anecdote qu'on dénomme Taxicab (n) le plus petit nombre décomposable de n façons différentes en somme de deux cubes. Ainsi 1729 est Taxicab (2).
Des défis de Fermat
Ramanujan n'est pas le premier à s'être intéressé à ces sommes de deux cubes. En 1657, il y a 350 ans, Fermat défie ses correspondants anglais et français avec deux problèmes :
(1) Trouver deux nombres cubes dont la somme soit égale à deux autres nombres cubes.
(2) Trouver deux nombres cubes dont la somme soit cube.
Ce qui revient à trouver des solutions entières aux deux équations :
(1) x 3 + y 3 = z 3 + w 3 ; (2) x 3 + y 3 = z 3.
Quelques semaines à peine après le défi de Fermat, le mathématicien Bernard Frenicle de Bessy fournit, sans donner sa méthode, les plus petites solutions au problème (1) dont ces deux premières : 1729 = 93 + 103 = 13 + 123 ; 4104 = 93 + 153 = 23 + 163.
Le problème (2) est le célèbre théorème de Fermat x n + y n = z n, dans le cas n égal à 3 : c'est seulement un siècle plus tard,...
