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es carrés magiques sont des tableaux d'un nombre carré de cases remplies de nombres entiers tous différents : les sommes des cases de ce carré, selon les lignes, les colonnes et les diagonales de ce carré, sont égales. Les mathématiciens se sont parfois imposé des contraintes supplémentaires.

Nous présentons ici cinq énigmes avec des prix à gagner : l'auteur offre 100 euros et une bouteille de champagne pour chaque énigme.

1) Carré magique de carrés

Un carré magique 3 × 3 peut-il être construit avec neuf entiers carrés distincts ? Martin Gardner publie cette question en 1996 dans la revue Quantum, puis à nouveau en 1998 dans Scientific American : il offre 100 $ à la première personne qui construira un tel carré de carrés ou qui prouvera que le problème est impossible. À ce jour, personne n'a réussi à gagner ces 100 $.

Martin Gardner attribue cet intéressant problème à Martin LaBar qui l'avait posé dans The College Mathematics Journal en 1984. Or le problème est bien plus ancien : les carrés de carrés avaient déjà été étudiés par Leonhard Euler, puis par Édouard Lucas (voir, en bibliographie, l'article dans The Mathematical Intelligencer 2005).

En 1770, Euler écrit en français à Lagrange : « Permettez-moi, Monsieur, que je vous parle encore d'un problème qui me paroit fort curieux et digne de toute attention. » Euler est ravi de lui annoncer la construction d'un carré magique 4 × 4 composé de seize entiers carrés distincts (voir, à côté du titre, le dessin du carré magique par Euler, où les éléments doivent être élevés au carré). La lettre est datée du 9-20 mars 1770 : pourquoi cette étrange double date donnée par Euler ? Parce que le calendrier russe avait alors 11 jours d'écart avec la plupart des autres pays européens. Lorsque Euler rédigeait cette lettre, il était le 9 mars 1770 à St-Pétersbourg, lieu de sa résidence,...